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初中三角函数定理公式归纳

三角函数正切定理公式

在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

正切定理：(a+b)/(a-b)=tan((α+β)/2)/tan((α-β)/2)。

初中三角函数余弦定理

定义：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

b^2=a^2+c^2-2ac·cosB

c^2=a^2+b^2-2ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

延伸定理：余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有：

a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

余弦判定定理

判定定理一:两根判别法

若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。

①若m（c1,c2）=2,则有两解；

②若m（c1,c2）=1,则有一解；

③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

判定定理二:角边判别法

一、当a>bsinA时：

①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；

②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）；

③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；

④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）；

⑤当b<a时，则有一解。

二、当a=bsinA时：

①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解；

②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）。

三、当a<bsinA时,则有零解（即无解）。

三角函数的正弦定理公式

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：

sinA/a=sinB/b=sinC/c

也可表示为：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。

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