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高考数学不等式知识点
不等式概念
①如果x>y,那么yy;(对称性)
②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)
④如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz
⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z;
⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)
⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数或负数)[1]
或者说,不等式的基本性质有:
①对称性;
②传递性:
③加法单调性:即同向不等式可加性:
④乘法单调性:
⑤同向正值不等式可乘性:;
⑥正值不等式可乘方:
⑦正值不等式可开方::
⑧倒数法则。[2]
……
如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,以上是其中比较有名的。
不等式原理编辑
主要的有:
①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,那么不等式F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。
③如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。
例题解析
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且ab<0,则;(假)若a若,则a>b;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)说明:强调在较后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求较值作思维准备.
例2:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.