郑州金水区初中高中一对一辅导中心

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线性相关的三种判断方法

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。通过向量组的正交性研究向量组的相关性。当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。

1 线性相关定理

1、向量a1,a2,…,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。

2、线性相关是什么

定义：如果向量组α1，α2，……，αs(s≥2)中有一个向量可以由其余的向量线性表示，那么向量组α1，α2，……，αs称为线性相关的。

例如，向量组α1=（2，-1,3,1），α2=（4，-2,5,2），α3=（2，-1,4，-1）是线性相关的，因为α3=3α1-α2。

注：由定义可知，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。