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　　2024应用统计硕士考研知识点：主成分和因子分析

　　主成分和因子分析

　　1.(1)概念:在研究实际问题时，往往需要收集多个变量。但这样会使多个变量间存在较强的相关关系，即这些变量间存在较多的信息重复，直接利用它们进行分析，不但模型复杂，还会因为变量间存在多重共线性而引起较大的误差。为能够充分利用数据，通常希望用较少的新变量代替原来较多的旧变量，同时要求这些新变量尽可能反映原变量的信息。主成分分析和因子分子正是解决这类问题的有效方法。它们能够提取信息，使变量简化降维，从而使问题更加简单直观

　　(2)主成分分析：研究如何通过少数几个主成分(principal component)来解释多个变量间的内部结构。即从原始变量中导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关

　　主成分分析的目的：数据的压缩数据的解释。常被用来寻找判断事物或现象的综合指标，并对综合指标所包含的信息进行适当的解释。(主成分所代表的原始变量的信息用其方差来表示，一般要求所选主成分的方差总和占全部方差的80%以上就可以了。如果原来的变量之间的相关程度高，降维的效果就会好一些，所选的主成分就会少一些。特征根反映了主成分对原始变量的影响程度，表示引入该主成分后可以解释原始变量的信息。特征根又叫方差，某个特征根占总特征根的比例称为主成分方差贡献率。一般情况下，当特征根小于1时，就不再选作主成分了，因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量解的释力度大。)

　　(3)因子分析：与主成分分析类似，它们都是要找出少数几个新的变量来代替原始变量。

　　不同之处：主成分分析中的主成分个数与原始变量个数是一样的，即有几个变量就有几个主成分，只不过较后我们确定了少数几个主成分而已。而因子分析则需要事先确定要找几个成分，也称为因子(factor)，然后将原始变量综合为少数的几个因子，以再现原始变量与因子之间的关系，一般来说，因子的个数会远远少于原始变量的个数。

　　因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，但它对问题的研究更深入、更细致一些。实际上，主成分分析可以看作是因子分析的一个特例

　　简言之，因子分析是通过对变量之间关系的研究，找出能综合原始变量的少数几个因子，使得少数因子能够反映原始变量的绝大部分信息，然后根据相关性的大小将原始变量分组，使得组内的变量之间相关性较高，而不同组的变量之间相关性较低。因此，因子分析属于多元统计中处理降维的一种统计方法，其目的就是要减少变量的个数，用少数因子代表多个原始变量

　　(4)因子数量的确定

　　用公因子方差贡献率提取：与主成分分析类似，一般累计方差贡献率达到80%以上的前几个因子可以作为较后的公因子

　　用特征根提取：一般要求因子对应的特征根要大于1，因为特征根小于1说明该共因子的解释力度太弱，还不如使用原始变量的解释力度大

　　实际应用中，因子的提取要结合具体问题而定，在某种程度上，取决于研究者自身的知识和经验

　　(5)主成分分析和因子分析都是多元分析中处理降维的两种统计方法。只有当原始数据中的变量之间具有较强的相关关系时，降维的效果才会明显，否则不适合进行主成分分析和因子分析

　　主成分和因子的选择标准应结合具体问题而定。在某种程度上取决于研究者的知识和经验，而不是方法本身

　　即使得到了满意的主成分或因子，在运用它们对实际问题进行评价、排序等分析时，仍然要保持谨慎，因为主成分和因子毕竟是高度抽象的量，无论如何，它们的含义都不如原始变量清晰

　　因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，而主成分分析则可以看作是因子分析的一个特例。目前因子分析在实际中被广泛应用，而主成分分析通常只作为大型统计分析的中间步骤，几乎不再单独使用。