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高二数学不等式的基本性质与不等式的解法

什么叫做不等式

用不等号将两个整式连结起来所成的式子。

不等式基本性质

①如果x>y，那么y<x；如果yy；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）

⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；

⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)

⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）

或者说，不等式的基本性质有：

①对称性；

②传递性：

③加法单调性：即同向不等式可加性：

④乘法单调性：

⑤同向正值不等式可乘性：

⑥正值不等式可乘方：

⑦正值不等式可开方：

⑧倒数法则。

如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。

不等式性质与等式性质的异同点

相同点：等式或不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，等式或不等式仍然成立。

不相同点：等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 的数，等式仍然成立。

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式仍然成立。

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式改变方向。

不等式的解法：

（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：

（2）值不等式：若 ，则 ； ；

注意：

(1）解有关值的问题，考虑去值，去值的方法有：

⑴对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去值；

(2).通过两边平方去值；需要注意的是不等号两边为非负值。

(3）.含有多个值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

（4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（6）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为

（或更多）但含参数，要讨论。