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信息学初赛中的组合数学

　　排列和组合：怎么排，怎么组合？研究的意义在于统计排列和组合的个数。

　　四个基本的计数原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理。

　　排列：

　　全排列P(n,n)=n!

　　部分排列P(n,r)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-r+1)=n！/(n-r)!

　　圆排列:Q(n,n)=P(n,n)/n=(n-1)!

　　组合:C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)

　　章加法原理与乘法原理

　　1.加法原理:

　　完成一个工程可以有n类办法，a<i>(1<=i<=n)代表第i类方法的数目。

　　那么完成这件事共有S=a[[1]+a[2]+...+a[n]种不同的方法。

　　2.乘法原理:

　　完成一个工程需要分n个步骤，a<i>(1<=i<=n)代表第i个步骤的不同方法数目。

　　那么完成这件事共有S=a[[1]*a[2]*...*a[n]种不同的方法。

　　3.两个原理的区别:

　　一个与分类有关，一个与分步有关；

　　加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

　　练习

　　1.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（分别讨论各位上的数字允许重复和不允许重复的情况）？

　　题解：乘法原理，重复：125，不重复：60

　　2.由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（讨论各个位上数字允许重复和不重复的情况）？

　　题解：先区分首位是否为0（加法原理），再分别用乘法原理。重复：180，不重复？

　　3.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？15

　　4.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？1000首位数字不为0的密码数是多少种？900首位数字是0的密码数又是多少种？100

　　6.某班有22名女生，23名男生.选一位学生代表班级去领奖，有几种不同选法？45选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？506

　　7.105有多少个约数？8并将这些约数写出来.

　　约数的计算公式s=(p1+1)*(p2+1)…*(pk+1)（pi为第i个质约数的幂）

　　8.从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间有几种选法？题解：59，这题是加法原理和乘法原理的结合。

　　9.若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x，y)的不同个数有多少？25

　　10.一个口袋内装有5个小球另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同，从两个口袋内任取一个小球，有几种不同的取法?9从两个口袋内各取一个小球，有几种不同的取法.20

　　11.乘积(a1+a2+a3)*(b1+b2+b3+b4)*(c1+c2+c3+c4+c5)展开共有几个项。

　　题解：60，展开的每一项必定含有一个a一个b一个c，那么我们可以认为我们挑一个a再挑一个b再挑一个c，所以结果是3*4*5=60。

　　12.有四位考生安排在5个考场参加考试.有几种不同的安排方法。625