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一元二次函数知识点总结
一元二次函数
一般地,把形如y=ax2+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的高次数是2。
二次函数高次必须为二次, 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数的表达式
(一)顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y大(小)值=k。
(二)交点式
y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac>0]
函数与图像交于(x?,0)和(x?,0)
(三)一般式
y=aX2+bX+c=0(a≠0)(a、b、c是常数)
二次函数的性质
(1)二次函数的图像是抛物线,抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。|a|越大,则抛物线的开口越小;|a|越小,则抛物线的开口越大。
(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。
(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)
二次函数与一元二次方程的关系
(1)一元二次方程0=ax2+bx+c就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y=0的情况。
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点。
当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。