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不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。今天小编主要给大家分享考研数学高数不等式证明方法，希望对你们有帮助!

考研数学高数不等式证明方法

利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。

利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。

除此之外，较常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的较小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。

考研数学不等式常用的证明方法

一、利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。思路为：

(1)将所证明的不等式变形，使其一端变为或者的形式;

(2)若在(1)中其一端出现的形式，则对函数在区间上使用拉格朗日中值定理;若在(1)中其一端出现的形式，则对函数，在区间上使用柯西中值定理;

(3)根据中值定理中得到的的关系式及的取值范围，推出所证不等式。

二、利用单调性证明不等式。思路为：

(1)构造辅助(一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数)。

(2)利用单调性判定定理，判定在所讨论范围内的单调性。

(3)求在所讨论范围内的某个端点的函数值或极限值，从而推出不等式。

三、利用较大值或较小值证明不等式。思路为：

(1)构造辅助函数(一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数)。

(2)求在所讨论范围I上的较大值或较小值。

(3)若在区间I上的较大值为M，则;若在区间I上的较小值为m，则。

四、利用泰勒公式证明不等式。思路为：

(1)将函数在适当的点展开成比的较高阶导数低一阶的泰勒公式。

(2)根据已知条件所给的较高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩。

考研高数中不等式有哪些证明方法

1、利用函数的单调性证明不等式

利用单调性证明不等式是高等数学中一种较常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数F(x)及区间[a,b]，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。

下面来看一道典型例题：

例1证明：当x>0时，ln(1+x)

证明：构造函数F(x)=ln(1+x)-x，则F'(x)=

调减少，则F(x)0时，F'(x)

类似可证明：当x>0时，e>1+x.这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。

2、利用函数的较值证明不等式

利用函数的较大值、较小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的较大值较小值定理或利用导数求出函数的较值。具体思路是求出函数f(x)在给定区间内的较大值M、较小值m，则函数在该区间内满足m≤f(x)≤M。

例2证明：11+

则F'(x)=1+1x-ln(1-x)-=-ln(1-x)，当x

00，F(x)单调递增，所以x=0是F(x)的极小值点，也是较小值点.又F(0)=0，故F(x)>F(0)(∀x>1且x≠0)，即x+ln(1-x)>x ln(1-x).又x ln(1-x)

3、利用函数的凸凹性证明不等式

分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：

(1)如果要证明的不等式中包含形如f⎛x 1+x 2⎫1⎪、2[f(x 1)+f(x 2)]的项，那么往往可以找⎝2⎭到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。

例3已知x>0，y>0且x≠y，证明：x ln x+y ln y>(x+y)ln x+y.2

1>0，从而可知F(x)x(x)=1+l n x，F"(x)=证明：构造函数F(x)=x ln x，(x>0)，则F'

在x>0时是凹的.所以由凹函数的性质可得，F(x)+F(y)x+y>F()，即22

x ln x+y ln y>(x+y)ln x+y.2

0(2)利用定理：设f(x)在[a,b]上二阶可导，若f''(x 0)>0，则f(x)≥f(x)0f+('x()x 0x)-，

等号成立当且仅当x=x 0;若f''(x 0)

例4设f(x)在[0,1]上二阶可导且f"(x)>0，证明：⎰1

01f(x 2)dx≥f().3

证明：因为f"(x)>0，所以有f(x)≥f()+f'()(x-)，于是1

31313

111f(x 2)≥f()+f'()(x 2-)，两边同时在[0,1]上积分得，333

⎰1

0111111f(x 2)dx≥f()+f'()⎰(x 2-)dx，即⎰f(x 2)dx≥f()033303

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